Staud studierte Komposition in Wien und Berlin, u.a. bei Michael Jarrell und Hanspeter Kyburz.
Bereits ein Jahr nach seinem Studienabschluss gewann Staud 2002 den Erste Bank Kompositionspreis, 2003 den Preis des International Rostrum of Composers, 2004 den Förderpreis der Ernst- von-Siemens-Musikstiftung, 2009 den Paul-Hindemith-Preis des Schleswig-Holstein Musik Festival, 2012 den Preis für Musik der Stadt Wien und 2022 den Österreichischen Kunstpreis.

Auftragswerke schrieb Staud u.a. für die Wiener Staatsoper, die Salzburger Festspiele, das Lucerne Festival, das Aldeburgh Festival, die Cité de la Musique, das IRCAM/Centre Pompidou, die Wiener und Berliner Philharmoniker, das Cleveland Orchestra, das BR-Symphonieorchester, die Staatskapelle Dresden, das Münchner Kammerorchester, das Ensemble Modern, das Ensemble Intercontemporain und das Klangforum Wien. Er arbeitete mit Solist*innen wie Midori, Pierre-Laurent Aimard, Martin Fröst, Martin Grubinger, Jean-Guihen Queyras, Heinrich Schiff, Christoph Sietzen, Tamara Stefanovich, Katrien Baerts und Sarah Aristidou sowie mit Dirigent*innen wie Daniel Barenboim, Christoph Eschenbach, Mariss Jansons, Susanna Mälkki, Emilio Pomàrico, Simon Rattle, Franz Welser-Möst, François-Xavier Roth und Matthias Pintscher zusammen.

2015/2016 war Staud Gastprofessor an der Universität für Musik und darstellende Kunst Wien, seit 2018 ist Staud Professor für Komposition am Salzburger Mozarteum. Er ist Mitinitiator der Kompositions-Sommerkademie Arco.

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